衛星軌道の地上からの高さ

日能研が車内広告として出している問題があります。普段は結構その場で解ける程度なのですが、今回は紙と鉛筆が欲しくなるような問題でした。折角なのでこのエントリで解答してみようかと。因みに問題文は次のような感じです(メモっただけなので正確には覚えていません)。

graph00-060206

図のような地球と静止衛星があります。地球は半径6400kmの球であり、静止衛星は1秒間に3km進みます。静止衛星の軌道が赤道上空にある時の地表から衛星軌道までの高さを求めなさい。

因みに『円周率を3とする』とかいう文面がありましたが、その辺りは無視です。しっかりpiで計算しましょう。

先ず静止衛星の軌道半径をr、軌道の長さをlとします。円周の長さはl = 2 pi rですから半径rは次の式で求まります。

r = frac{l}{2 pi}

一方、秒速3kmという静止衛星の速度から軌道の長さが求まります。

l = 3 * 24 * 60 * 60

上記2式よりrが求まります。

r = frac{l}{2 pi} = frac{3 * 24 * 60 * 60}{2 pi} = frac{129600}{pi}

地表から衛星軌道への高さをhとすると、rから地球の半径を引けば良いわけですから下記の様に表す事ができます。因みにpi = 3とすれば解答は次の通りです。

h = r - 6400 = frac{129600}{pi} - 6400 = 36800 (km)

参考URL
シカクいアタマをマルくする (日能研)