球の体積

円の面積を基にして球の体積の公式を導きます。

基本的に方針は面積の時と同じです。面積の時にはピタゴラスの定理を基に x 軸に交差する y の線分の長さを求めその積分を行いました。体積の場合には x 軸に交差する y の線分の長さを半径とする円(球の断面)の面積を x について積分します。

目指す式は球の体積を V とした時次のようになります。

V = frac{4}{3} pi r^3


まず始めに x 軸を中心とする球の断面(円)の半径を求めます。ピタゴラスの定理を基に次の式により y を求めることができます。球の半径を r とした時球の断面から中心までの長さを x とします。

r^2 = y^2 + x^2
y = sqrt{r^2 - x^2}

従って断面の円の面積 A は次の式で求める事ができます。

A = pi y^2 = pi left( sqrt{r^2 - x^2} right) ^2 = pi left( r^2 - x^2 right)

次に球の体積 V は次の式で求める事ができます。

V = int _{-r} ^r A left( x right) dx

これを解いていきます。

V = 2 int _{0} ^{r} pi left( r^2 - x^2 right) dx = 2 pi left[ r^2 x - frac{x^3}{3} right] _{0} ^{r} = 2 pi left( r^3 - frac{r^3}{3} right) = frac{4}{3} pi r^3

以上で証明は終了です。