円周の長さ

円の面積にて証明がされた公式を用いて円周の長さを求めてみます。

…とは言っても実は前回の証明の段階で用いている pi の定義自体が円周の長さと円の直径の比率なので余り意味はありません。円の面積を微分すると円周の長さになるという証明をするだけです。さて pi の定義は、半径を r 円周を l とすると次のようになります。

pi = frac{l}{2r}

今回の趣旨は面積 $A$ の円について下記の式が成り立つ事を証明することになります。

A ^prime left( r right) = l left( r right)


それでは円の面積の公式を $r$ について微分します。

A = pi r^2

A ^prime left( r right) = lim _{h rightarrow 0} frac{A left( r + h right) - A left( r right)}{h} = lim _{h rightarrow 0} frac{pi left( r + h right) ^2 - pi r^2}{h} = lim _{h rightarrow 0} frac{pi left( r^2 + 2 r h + h^2 - r^2 right)}{h} = lim _{h rightarrow 0} left( 2 pi r + h right) = 2 pi r

l left( r right) = 2 pi r であるから A ^prime left( r right) = l left( r right) は成り立ちます。

余談ですが、 A left( x right)x について 0 rightarrow r の範囲で積分すると高さ r の三角錐の体積を求める式となります。試してみてください。