円の面積

円の面積の公式は次の式で表されます。

円の面積を A とすると

A = pi r^2

これは誰もがご存知の公式だと思いますが、では何故この公式が生まれるのか。本来ならば条件の証明等が必要になるかと思いますが、ここでは簡単な積分式で公式を導き出してみようかと。

半径 r で中心が O である円を考えると 0 leq theta leq frac{pi}{2} である 2 thetaangle O とする2点が円周に接する三角形を考えます。円の中心 O を頂点に持たない辺 y を底辺とした時高さを x とするとピタゴラスの定理より下記の式が成り立ちます。

r^2 = x^2 + left( frac{y}{2} right) ^2
y = 2 sqrt{r^2 - x^2}

この y left( x right)x について積分すると半円の面積が求まる筈です。

frac{A}{2} = int _{0} ^{r} 2 sqrt{r^2 - x^2} dx = 2 int _{0} ^{r} sqrt{r^2 - x^2} dx

ここで下記のような置き換えにより式を書き換えることができます。

x = r cos theta
dx = - r sin theta d theta = r sin theta d theta

ここで dx が絶対値を取っているのは x の値が線分の長さであるからです。

A = 4 int _{0} ^{frac{pi}{2}} sqrt{r^2 - r^2 cos ^2 theta} r sin theta d theta = 4 r^2 int _{0} ^{frac{pi}{2}} sqrt{ left( 1 - cos theta right) ^2} sin theta d theta = 4 r^2 int _{0} ^{frac{pi}{2}} sin ^2  theta d theta

ここで半角の公式を用いると下記のように書き換える事ができます。

A = 4 r^2 int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{1 - cos 2 theta}{2} d theta = 2 r^2 {left[ theta - frac{sin 2 theta}{2} right]} _{0} ^{frac{pi}{2}} = pi r^2

これで証明は終了です。

「円の面積」への2件のフィードバック

  1. Comment
             図形を楽に描くソフト無いですかね
    に邂逅し、 はじめまして 在ります 。次に紹介しておりますので ご覧下さい ;
    http://www.ganaware.jp/archives/2005/05/mac_os_x_tiger.html
    コメント by ymathematica / 2005年07月03日
      グラフは mathematica, Calking  で描くので
           他は使用しておりませんが
    http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
    http://www.nikonet.or.jp/spring/grps_tip/grps_tip.htm
        は ロハで 優れモノ の ようです

  2. >ymathematicaさん

    はじめまして。コメントありがとうございます。
    ご紹介頂いたGrapesですが、面白そうなツールですね。
    残念ながら現在仕事が立て込んでいてなかなか手を出せそうもありませんが、今後触ってみたいと思います。

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